Достаточные условия экстремума

Пусть $f$ дважды непрерывно дифференцируема в $O(\mathbf{x}^0)$, и $\mathbf{x}^0$ – стационарная. Определим квадратичную форму: $$\Phi(\mathbf{a}) = \Phi(a_1, \ldots, a_m) = \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} f''_{x_k x_j}(\mathbf{x}^0)a_k a_j$$ Тогда: - $\Phi(\mathbf{a})$ положительно определена $\implies$ $\mathbf{x}^0$ - точка строгого локального минимума - $\Phi(\mathbf{a})$ отрицательно определена $\implies$ $\mathbf{x}^0$ - точка строгого локального максимума - $\Phi(\mathbf{a})$ знакопеременная $\implies$ $\mathbf{x}^0$ - не является экстремумом

По формуле Тейлора: $$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}^0) + \sum_{k=1}^{m} f'_{x_k}(\mathbf{x}^0)\Delta x_k + \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} f''_{x_k x_j}(\mathbf{x}^0)\Delta x_k \Delta x_j + o(||\Delta \mathbf{x}||^2)$$ Так как $\mathbf{x}^0$ – стационарная точка, то $f'_{x_k}(\mathbf{x}^0) = 0$ для всех $k$. Тогда: $$f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}^0) = \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} f''_{x_k x_j}(\mathbf{x}^0)\Delta x_k \Delta x_j + o(||\Delta \mathbf{x}||^2)$$ Вынесем $||\Delta \mathbf{x}||^2$: $$f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}^0) = \dfrac{||\Delta \mathbf{x}||^2}{2} \left( \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} f''_{x_k x_j}(\mathbf{x}^0) \dfrac{\Delta x_k}{||\Delta \mathbf{x}||} \dfrac{\Delta x_j}{||\Delta \mathbf{x}||} + \dfrac{o(||\Delta \mathbf{x}||^2)}{||\Delta \mathbf{x}||^2} \right)$$ Положим $a_k = \dfrac{\Delta x_k}{||\Delta \mathbf{x}||}$, $k = 1, \ldots, m$. Тогда $||\mathbf{a}|| = 1$. $$f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}^0) = \dfrac{||\Delta \mathbf{x}||^2}{2} (\Phi(\mathbf{a}) + o(1))$$ **Случай 1:** Если $\Phi(\mathbf{a})$ положительно определенная. Множество $\{\mathbf{a} \mathpunct{:}~ ||\mathbf{a}|| = 1 \} = S(0,1) = B[0,1] \setminus B(0,1)$ - компакт. По теореме Вейерштрасса $$\exists{\mathbf{a}^0 \in S(0,1)}\mathpunct{:}~~ \inf_{\mathbf{a} \in S(0,1)} \Phi(\mathbf{a}) = \Phi(\mathbf{a}^0) > 0$$ А значит для всех $\mathbf{x} \neq \mathbf{x}^0$ (т.е. $\Delta \mathbf{x} \neq 0$), для достаточно малых $||\Delta \mathbf{x}||$: $$f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}^0) \ge \dfrac{||\Delta \mathbf{x}||^2}{2} \left(\Phi(\mathbf{a}^0) - \dfrac{\Phi(\mathbf{a}^0)}{2}\right) = \dfrac{||\Delta \mathbf{x}||^2}{4} \Phi(\mathbf{a}^0) > 0$$ Значит $\mathbf{x}^0$ - точка строгого локального минимума. **Случай 2:** Если $\Phi(\mathbf{a})$ отрицательно определенная. Аналогично случаю 1. **Случай 3:** Если $\Phi(\mathbf{a})$ знакопеременная. Это означает, что существуют $\mathbf{a}^1, \mathbf{a}^2$ такие, что $\Phi(\mathbf{a}^1) < 0$ и $\Phi(\mathbf{a}^2) > 0$. Для любой окрестности $O(\mathbf{x}^0)$ найдутся $\mathbf{x}^1, \mathbf{x}^2 \in O(\mathbf{x}^0)$, соответствующие $\mathbf{a}^1$ и $\mathbf{a}^2$ (т.е. $\mathbf{a}^1 = \dfrac{\mathbf{x}^1 - \mathbf{x}^0}{||\mathbf{x}^1 - \mathbf{x}^0||}$ и $\mathbf{a}^2 = \dfrac{\mathbf{x}^2 - \mathbf{x}^0}{||\mathbf{x}^2 - \mathbf{x}^0||}$), такие, что: $$f(\mathbf{x}^1) - f(\mathbf{x}^0) < \dfrac{||\Delta \mathbf{x}^1||^2}{2} \left(\Phi(\mathbf{a}^1) - \dfrac{\Phi(\mathbf{a}^1)}{2}\right) = \dfrac{||\Delta \mathbf{x}^1||^2}{4} \Phi(\mathbf{a}^1) < 0$$ $$f(\mathbf{x}^2) - f(\mathbf{x}^0) > \dfrac{||\Delta \mathbf{x}^2||^2}{2} \left(\Phi(\mathbf{a}^2) - \dfrac{\Phi(\mathbf{a}^2)}{2}\right) = \dfrac{||\Delta \mathbf{x}^2||^2}{4} \Phi(\mathbf{a}^2) > 0$$ Значит $\mathbf{x}^0$ - не точка локального экстремума. $\square$